1965 AMC 12 Problema 23

Question

Si escribimos

|x^2-4|\lt N

para todo

x

tal que

|x-2|\lt0.01,

el menor valor que podemos usar para

N

es:

If we write

|x^2-4|\lt N

for all

x

such that

|x-2|\lt0.01,

the smallest value we can use for

N

is:

0.0301

0.0349

0.0399

0.0401

0.0499

Factoriza

|x^2-4|=|x-2||x+2|

Factor

|x^2-4|=|x-2||x+2|

La mayor cota unilateral se alcanza cuando

x

se aproxima a

2.01

The larger one-sided bound occurs as

x

approaches

2.01

Para

1.99\lt x\lt2.01,

\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}

Los valores de

x

arbitrariamente próximos a

2.01

hacen que la expresión se aproxime arbitrariamente a

0.0401,

por lo que ninguna cota menor sirve.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

1.99\lt x\lt2.01,

\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}

Values with

x

arbitrarily close to

2.01

make the expression arbitrarily close to

0.0401,

so no smaller bound works.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 23 en otros años