Si se sabe que log_2a+log_2b≥6, entonces el menor valor que puede tomar a+b es:

1969 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Si se sabe que

\log_2a+\log_2b\ge6,

entonces el menor valor que puede tomar

a+b

es:

If it is known that

\log_2a+\log_2b\ge6,

then the least value that can be taken on by

a+b

is:

2\sqrt6

6

8\sqrt2

16

ninguna de las anteriores

none of these

Combina los logaritmos para acotar

ab

Combine the logarithms to bound

ab

Aplica

a+b\ge2\sqrt{ab}

Apply

a+b\ge2\sqrt{ab}

La condición logarítmica da

\log_2(ab)\ge6,

así que

ab\ge64.

Por la desigualdad AM-GM,

a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.

La igualdad se alcanza cuando

a=b=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The logarithm condition gives

\log_2(ab)\ge6,

ab\ge64.

By AM-GM,

a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.

Equality is attained at

a=b=8.

Therefore, the correct answer is D.