1970 AMC 12 Problema 15

Question

En el plano

xy,

se trazan rectas que pasan por el punto

(3,4)

y por los puntos de trisección del segmento que une

(-4,5)

y

(5,-1).

Una de estas rectas tiene la ecuación:

Lines in the

xy

-plane are drawn through the point

(3,4)

and the trisection points of the line segment joining the points

(-4,5)

and

(5,-1).

One of these lines has the equation:

3x-2y-1=0

4x-5y+8=0

5x+2y-23=0

x+7y-31=0

x-4y+13=0

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Halla los dos puntos de trisección avanzando un tercio y dos tercios del vector de desplazamiento

Find the two trisection points by moving one-third and two-thirds of the displacement vector

Pista grande:

Los puntos de trisección son

(-1,3)

y

(2,1)

; halla la recta que une cualquiera de ellos con

(3,4)

The trisection points are

(-1,3)

and

(2,1)

; find the line from either one to

(3,4)

Solución:

El desplazamiento de

(-4,5)

a

(5,-1)

es

(9,-6).

Por lo tanto, los puntos de trisección son

(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)

y

(2,1).

La recta que pasa por

(-1,3)

y

(3,4)

tiene pendiente

\frac{1}{4},

así que

y-4=\frac14(x-3),

o bien

x-4y+13=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The displacement from

(-4,5)

to

(5,-1)

is

(9,-6).

The trisection points are therefore

(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)

and

(2,1).

The line through

(-1,3)

and

(3,4)

has slope

\frac{1}{4},

so

y-4=\frac14(x-3),

or

x-4y+13=0.

Therefore, the correct answer is E.