1972 AMC 12 Problema 22

Question

Si

a\pm bi

(b\ne0)

son raíces imaginarias de la ecuación

x^3+qx+r=0,

donde

a,

b,

q,

y

r

son números reales, entonces

q

en función de

a

y

b

es:

If

a\pm bi

(b\ne0)

are imaginary roots of the equation

x^3+qx+r=0,

where

a,

b,

q,

and

r

are real numbers, then

q

in terms of

a

and

b

is:

a^2+b^2

2a^2-b^2

b^2-a^2

b^2-2a^2

b^2-3a^2

El conjugado

a-bi

es otra raíz

The conjugate

a-bi

is another root

Como el coeficiente de

x^2

es cero, determina la tercera raíz y luego usa la suma de los productos por pares

Because the

x^2

coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

La raíz conjugada es

a-bi.

Como la suma de las tres raíces es

0,

la tercera raíz es

-2a.

Por las fórmulas de Vieta,

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The conjugate root is

a-bi.

Since the sum of the three roots is

0,

the third root is

-2a.

By Vieta’s formulas,

\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 22 en otros años