1973 AMC 12 Problema 22

Question

El conjunto de todas las soluciones reales de la desigualdad

|x-1|+|x+2|\lt5

es

The set of all real solutions of the inequality

|x-1|+|x+2|\lt5

is

\{x:-3\lt x\lt2\}

\{x:-1\lt x\lt2\}

\{x:-2\lt x\lt1\}

\left\{x:-\dfrac32\lt x\lt\dfrac72\right\}

\varnothing

(vacío)

\varnothing

(empty)

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Interpreta los dos valores absolutos como las distancias de

x

a

1

y a

-2

Interpret the two absolute values as the distances from

x

to

1

and to

-2

Pista grande:

Entre

-2

y

1

la suma es constante; fuera de ese intervalo aumenta en el doble de la distancia al extremo más cercano

Between

-2

and

1

the sum is constant; outside that interval it increases by twice the distance from the nearer endpoint

Solución:

Para

-2\le x\le1,

la suma de las distancias de

x

a

-2

y

1

es

3.

Si

x

está a una distancia

u

fuera de este intervalo, la suma es

3+2u.

Así,

3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.

Al extender el intervalo

[-2,1]

en

1

por cada extremo se obtiene

-3\lt x\lt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For

-2\le x\le1,

the sum of the distances from

x

to

-2

and

1

is

3.

If

x

lies a distance

u

outside this interval, the sum is

3+2u.

Thus

3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.

Extending the interval

[-2,1]

by

1

at each end gives

-3\lt x\lt2.

Therefore, the correct answer is A.