1973 AMC 12 Problema 25

Question

Un terreno circular de césped de

12

pies de diámetro es atravesado por un sendero recto de grava de

3

pies de ancho, uno de cuyos bordes pasa por el centro del terreno. El número de pies cuadrados de césped que quedan es

A circular grass plot

12

feet in diameter is cut by a straight gravel path

3

feet wide, one edge of which passes through the center of the plot. The number of square feet in the remaining grass area is

36\pi-34

30\pi-15

36\pi-33

35\pi-9\sqrt3

30\pi-9\sqrt3

Respuesta: E

Conceptos:área del círculo sector circular descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Biseca el sendero con el diámetro perpendicular del terreno circular

Bisect the path by the perpendicular diameter of the circular plot

Pista grande:

Cada mitad del sendero es un sector de

30^\circ

junto con un triángulo de

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

Each half of the path is a

30^\circ

sector together with a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

Solución:

El terreno tiene radio

6.

En el otro borde del sendero, la distancia perpendicular desde el centro es

3,

así que el radio hasta un punto de intersección forma un ángulo de

30^\circ

con el borde que pasa por el centro. La mitad del sendero consta de un sector de

30^\circ

y radio

6

, junto con un triángulo rectángulo de catetos

3

y

3\sqrt3.

Su área es

\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}

Así, el sendero completo tiene área

6\pi+9\sqrt3,

y el área de césped restante es

36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The plot has radius

6.

At the path’s other edge, the perpendicular distance from the center is

3,

so the radius to an intersection point makes a

30^\circ

angle with the edge through the center. Half of the path consists of a

30^\circ

sector of radius

6

and a right triangle with legs

3

and

3\sqrt3.

Its area is

\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}

Thus the whole path has area

6\pi+9\sqrt3,

and the remaining grass area is

36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.

Therefore, the correct answer is E.