1974 AMC 12 Problema 22

Question

El valor mínimo de

\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2

se alcanza cuando

A

es

The minimum value of

\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2

is attained when

A

is

-180^\circ

60^\circ

120^\circ

0^\circ

ninguna de estas

none of these

Combina el seno y el coseno en un solo seno desplazado de amplitud

2

Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude

2

Usa

\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)

Use

\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)

Sea

u=\frac{A}{2}.

Entonces

\sin u-\sqrt3\cos u

es igual a

2\sin(u-60^\circ).

Su mínimo ocurre cuando

u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,

así que

A=660^\circ+720^\circ n

para algún entero

n.

Ninguna de las primeras cuatro opciones tiene esta forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

u=\frac{A}{2}.

Then

\sin u-\sqrt3\cos u

equals

2\sin(u-60^\circ).

Its minimum occurs when

u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,

so

A=660^\circ+720^\circ n

for an integer

n.

None of the first four choices has this form.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 22 en otros años