1976 AMC 12 Problema 7

Question

Si

x

es un número real, entonces la cantidad

(1-|x|)(1+x)

es positiva si y solo si

If

x

is a real number, then the quantity

(1-|x|)(1+x)

is positive if and only if

|x|\lt1

x\lt1

|x|\gt1

x\lt-1

x\lt-1

o

-1\lt x\lt1

x\lt-1

or

-1\lt x\lt1

Un producto es positivo cuando sus dos factores tienen el mismo signo

A product is positive when its two factors have the same sign

Analiza los intervalos determinados por

-1

y

1

Analyze the intervals cut by

-1

and

1

Ambos factores son positivos exactamente cuando

|x|\lt1,

lo que da

-1\lt x\lt1.

Ambos son negativos cuando

|x|\gt1

y

x\lt-1,

condición que se reduce a

x\lt-1.

En los extremos el producto es cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both factors are positive exactly when

|x|\lt1,

giving

-1\lt x\lt1.

Both are negative when

|x|\gt1

and

x\lt-1,

which reduces to

x\lt-1.

The endpoints make the product zero.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 7 en otros años