1978 AMC 12 Problema 6

Question

El número de pares distintos

(x,y)

de números reales que satisfacen ambas ecuaciones siguientes:

\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}

es

The number of distinct pairs

(x,y)

of real numbers satisfying both of the following equations:

\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}

is

0

1

2

3

4

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación como

y(1-2x)=0

Factor the second equation as

y(1-2x)=0

Pista grande:

Considera

y=0

y

x=\frac12

como casos separados

Handle

y=0

and

x=\frac12

as separate cases

Solución:

Si

y=0,

la primera ecuación da

x=x^2,

por lo que

(x,y)=(0,0)

o

(1,0).

Si

y\ne0,

la segunda ecuación da

x=\frac{1}{2}.

La primera da entonces

y^2=\frac{1}{4},

lo cual produce

(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

y

(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).

Hay cuatro pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

y=0,

the first equation gives

x=x^2,

so

(x,y)=(0,0)

or

(1,0).

If

y\ne0,

the second equation gives

x=\frac{1}{2}.

The first then gives

y^2=\frac{1}{4},

producing

(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

and

(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).

There are four pairs.

Therefore, the correct answer is E.