1979 AMC 12 Problema 25

Question

Si

q_1(x)

y

r_1

son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir el polinomio

x^8

entre

x+\frac12,

y

q_2(x)

y

r_2

son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir

q_1(x)

entre

x+\frac12,

entonces

r_2

es igual a

If

q_1(x)

and

r_1

are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial

x^8

is divided by

x+\frac12,

and if

q_2(x)

and

r_2

are the quotient and remainder, respectively, when

q_1(x)

is divided by

x+\frac12,

then

r_2

equals

\frac1{256}

-\frac1{16}

1

-16

256

Respuesta: B

Conceptos:polinomio factorización sustitución

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Sea

a=-\frac12

y expresa el primer cociente usando

x^8-a^8

Let

a=-\frac12

and express the first quotient using

x^8-a^8

Pista grande:

Aplica el teorema del residuo a

q_1(x)

en

x=a

Apply the remainder theorem to

q_1(x)

at

x=a

Solución:

Sea

a=-\frac{1}{2}.

Como el primer residuo es

a^8,

\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}

Por tanto, el segundo residuo es

\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

a=-\frac{1}{2}.

Since the first remainder is

a^8,

\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}

Therefore the second remainder is

\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.