1992 AMC 12 Problema 13

Question

¿Cuántos pares de enteros positivos

(a,b)

con

a+b\le100

satisfacen la ecuación

\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?

How many pairs of positive integers

(a,b)

with

a+b\le100

satisfy the equation

\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?

1

5

7

9

13

Respuesta: C

Conceptos:rational expression positive integer solutions divisibilidad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por

ab

Multiply the numerator and denominator by

ab

Pista grande:

Después de simplificar, expresa

a

como múltiplo de

b

y aplica la cota sobre

a+b

After simplifying, write

a

as a multiple of

b

and apply the bound on

a+b

Solución:

Al multiplicar el numerador y el denominador por

ab

se obtiene

\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.

Por tanto,

a=13b.

La condición

a+b\le100

se convierte en

14b\le100,

así que

b

puede ser cualquier entero de

1

a

7.

Hay

7

pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Multiplying the numerator and denominator by

ab

gives

\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.

Thus

a=13b.

The condition

a+b\le100

becomes

14b\le100,

so

b

may be any integer from

1

through

7.

There are

7

pairs.

Thus the correct answer is C.