1972 AMC 12 Problema 13

Question

En el cuadrado

ABCD

, cuyos lados miden

12

pulgadas, se traza el segmento

AE

, donde

E

es el punto de

DC

que está a

5

pulgadas de

D.

Se traza la mediatriz de

AE

, la cual corta a

AE,

AD,

y

BC

en los puntos

M,

P,

y

Q,

respectivamente. La razón entre los segmentos

PM

y

MQ

es:

Inside square

ABCD

with sides of length

12

inches, segment

AE

is drawn, where

E

is the point on

DC

which is

5

inches from

D.

The perpendicular bisector of

AE

is drawn and intersects

AE,

AD,

and

BC

at points

M,

P,

and

Q,

respectively. The ratio of segment

PM

to

MQ

is:

5{:}12

5{:}13

5{:}19

1{:}4

5{:}21

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)punto medio mediatriz semejanza

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Traza por

M

una recta paralela a

AB

Draw through

M

a line parallel to

AB

Pista grande:

Las distancias horizontales de

M

a

AD

y

BC

son

\frac{5}{2}

y

\frac{19}{2}

The horizontal distances from

M

to

AD

and

BC

are

\frac{5}{2}

and

\frac{19}{2}

Solución:

Como

M

es el punto medio de

AE,

su distancia horizontal a

AD

es

\frac{5}{2}.

Su distancia a

BC

es

12-\frac52=\frac{19}{2}.

Los dos triángulos rectángulos que la horizontal por

M

determina sobre la recta

PQ

son semejantes, de modo que sus hipotenusas están en la razón de estos catetos horizontales:

PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

M

is the midpoint of

AE,

its horizontal distance from

AD

is

\frac{5}{2}.

Its distance from

BC

is

12-\frac52=\frac{19}{2}.

The two right triangles cut from line

PQ

by the horizontal through

M

are similar, so their hypotenuses are in the ratio of these horizontal legs:

PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.

Therefore, the correct answer is C.