1970 AMC 12 Problema 13

Question

Se define la operación binaria

*

mediante

a*b=a^b

para todos los números positivos

a

y

b.

Entonces, para todos los

a,

b,

c,

n

positivos, se cumple:

Given the binary operation

*

defined by

a*b=a^b

for all positive numbers

a

and

b.

Then for all positive

a,

b,

c,

n,

we have:

a*b=b*a

a*(b*c)=(a*b)*c

a*(b^n)=(a*n)*b

(a*b)^n=a*(bn)

Ninguna de las anteriores

None of these

Sustituye cada

*

según la definición antes de comparar ambos lados

Replace every

*

using the definition before comparing the two sides

En la opción D, ambos lados se simplifican a una potencia con exponente

bn

For choice D, both sides simplify to a power with exponent

bn

Para la opción D,

\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}

Por lo tanto, esa identidad siempre se cumple. Las otras opciones afirmarían identidades generales falsas, como

a^b=b^a

o

a^{b^c}=a^{bc}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For choice D,

\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}

Thus that identity always holds. The other choices would assert false general identities such as

a^b=b^a

or

a^{b^c}=a^{bc}.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 13 en otros años