1975 AMC 12 Problema 13

Question

La ecuación

x^6-3x^5-6x^3-x+8=0

tiene

The equation

x^6-3x^5-6x^3-x+8=0

has

ninguna raíz real

no real roots

exactamente dos raíces negativas distintas

exactly two distinct negative roots

exactamente una raíz negativa

exactly one negative root

ninguna raíz negativa, pero al menos una raíz positiva

no negative roots, but at least one positive root

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:polinomio desigualdad

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Determina el signo de cada término cuando

x\lt0

Determine the sign of every term when

x\lt0

Pista grande:

Compara los valores del polinomio en

0

y

1

Compare the polynomial’s values at

0

and

1

Solución:

Para

x\lt0,

cada uno de

x^6,-3x^5,-6x^3,-x,

y

8

es positivo, así que no hay raíces negativas. En

x=0

el polinomio vale

8,

mientras que en

x=1

vale

-1.

Por continuidad, existe una raíz positiva entre

0

y

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

x\lt0,

each of

x^6,-3x^5,-6x^3,-x,

and

8

is positive, so there is no negative root. At

x=0

the polynomial is

8,

while at

x=1

it is

-1.

Continuity therefore gives a positive root between

0

and

1.

Therefore, the correct answer is D.