1983 AMC 12 Problema 30

Question

Los puntos distintos

A

y

B

están en un semicírculo de diámetro

MN

y centro

C.

El punto

P

está en

CN

y

\angle CAP=\angle CBP=10^\circ.

Si

\overset{\frown}{MA}=40^\circ,

entonces

\overset{\frown}{BN}

es igual a

Distinct points

A

and

B

are on a semicircle with diameter

MN

and center

C.

The point

P

is on

CN

and

\angle CAP=\angle CBP=10^\circ.

If

\overset{\frown}{MA}=40^\circ,

then

\overset{\frown}{BN}

equals

10^\circ

15^\circ

20^\circ

25^\circ

30^\circ

Respuesta: C

Conceptos:círculo arco ley de los senos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

El arco de

40^\circ

da

\angle ACP=140^\circ

The

40^\circ

arc gives

\angle ACP=140^\circ

Pista grande:

Compara los triángulos

ACP

y

BCP

usando

AC=BC

y la ley de los senos

Compare triangles

ACP

and

BCP

using

AC=BC

and the law of sines

Solución:

Como

\overset{\frown}{MA}=40^\circ,

el ángulo central es

\angle MCA=40^\circ,

así que

\angle ACP=140^\circ.

Por tanto,

\angle APC=180^\circ-140^\circ

{}-10^\circ=30^\circ.

Al aplicar la ley de los senos a los triángulos

ACP

y

BCP,

y usar

AC=BC,

obtenemos

\sin\angle BPC=\sin30^\circ.

Como

A

y

B

son distintos,

\angle BPC=150^\circ.

Por consiguiente,

\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned}

de modo que

\overset{\frown}{BN}=20^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

\overset{\frown}{MA}=40^\circ,

the central angle

\angle MCA=40^\circ,

so

\angle ACP=140^\circ.

Hence

\angle APC=180^\circ-140^\circ

{}-10^\circ=30^\circ.

Applying the law of sines in triangles

ACP

and

BCP,

and using

AC=BC,

gives

\sin\angle BPC=\sin30^\circ.

Because

A

and

B

are distinct,

\angle BPC=150^\circ.

Therefore

\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned}

so

\overset{\frown}{BN}=20^\circ.

Therefore, the correct answer is C.