1966 AMC 12 Problema 30

Question

Si tres de las raíces de

x^4+ax^2+bx+c=0

son

1,

2,

y

3,

entonces el valor de

a+c

es:

If three of the roots of

x^4+ax^2+bx+c=0

are

1,

2,

and

3,

then the value of

a+c

is:

35

24

-12

-61

-63

La ausencia del coeficiente de

x^3

hace que la suma de las cuatro raíces sea cero

The missing

x^3

coefficient makes the sum of all four roots zero

Usa la cuarta raíz para calcular la suma por pares

a

y el producto

c

Use the fourth root to compute the pairwise sum

a

and product

c

La cuarta raíz es

-6

porque la suma de las raíces es cero. La suma de los productos por pares es

\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}

mientras que el producto es

c=(1)(2)(3)(-6)=-36.

Así,

a+c=-61.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fourth root is

-6

because the root sum is zero. The sum of pairwise products is

\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}

while the product is

c=(1)(2)(3)(-6)=-36.

Thus

a+c=-61.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 30 en otros años