1992 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

ABCD

un trapecio isósceles con bases

AB=92

y

CD=19.

Supón que

AD=BC=x

y que un círculo cuyo centro está en

\overline{AB}

es tangente a los segmentos

\overline{AD}

y

\overline{BC}.

Si

m

es el menor valor posible de

x,

entonces

m^2=

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid with bases

AB=92

and

CD=19.

Suppose

AD=BC=x

and a circle with center on

\overline{AB}

is tangent to segments

\overline{AD}

and

\overline{BC}.

If

m

is the smallest possible value of

x,

then

m^2=

1369

1679

1748

2109

8825

Respuesta: B

Conceptos:isosceles trapezoid circle tangent to lines optimización geometría analítica

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Por simetría, coloca el trapecio con los centros de sus bases en el mismo eje vertical y sitúa el centro del círculo en el punto medio de

AB

By symmetry, place the trapezoid with its bases centered on the same vertical axis and put the circle’s center at the midpoint of

AB

Pista grande:

Escribe la distancia del centro a un lado no paralelo y exige que el punto de tangencia esté en el segmento; el mínimo ocurre en el caso límite de un extremo

Write the distance from the center to a leg and require the tangency point to lie on the leg segment; the minimum occurs at an endpoint case

Solución:

Coloca

A=(-46,0),

B=(46,0),

D=(-\frac{19}{2},h),

y

C=(\frac{19}{2},h).

La simetría obliga a que el centro del círculo sea

O=(0,0).

El desplazamiento horizontal a lo largo de cada lado no paralelo es

\frac{73}{2},

así que

x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.

La perpendicular desde

O

a un lado no paralelo empieza a tener su pie en el segmento cuando este alcanza el extremo superior; esta condición límite es

OD\perp AD.

Por tanto,

\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}

Entonces

m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place

A=(-46,0),

B=(46,0),

D=(-\frac{19}{2},h),

and

C=(\frac{19}{2},h).

Symmetry forces the circle’s center to be

O=(0,0).

The horizontal offset along each leg is

\frac{73}{2},

so

x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.

The perpendicular from

O

to a leg first has its foot on the segment when the foot reaches the upper endpoint; this boundary condition is

OD\perp AD.

Thus

\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}

Therefore

m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.

Thus the correct answer is B.