Si b>1, x>0, y (2x)^log_b2-(3x)^log_b3=0, entonces x es

(E) no está determinado de manera única

1981 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

b\gt1,

x\gt0,

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,

entonces

x

b\gt1,

x\gt0,

and

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,

then

x

\frac1{216}

\frac16

1

6

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Toma logaritmos en base

b

de las dos potencias positivas iguales

Take logarithms to base

b

of the two equal positive powers

Sean

A=\log_b2,

B=\log_b3,

u=\log_bx

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx

Sean

A=\log_b2,

B=\log_b3,

u=\log_bx.

Al tomar logaritmos en base

b

obtenemos

A(A+u)=B(B+u).

Como

A\ne B,

A+B+u=0.

Por lo tanto,

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),

así que

x=\frac{1}{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx.

Taking base-

b

logarithms gives

A(A+u)=B(B+u).

Since

A\ne B,

A+B+u=0.

Therefore

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),

x=\frac{1}{6}.

Therefore, the correct answer is B.