1981 AMC 12 Problema 22

Question

¿Cuántas rectas de un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares pasan por cuatro puntos distintos de la forma

(i,j,k),

donde

i,

j,

y

k

son enteros positivos no mayores que cuatro?

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form

(i,j,k),

where

i,

j,

and

k

are positive integers not exceeding four?

60

64

72

76

100

Respuesta: D

Conceptos:Geometría 3D punto reticular conteo básico

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Cuatro puntos reticulares colineales en esta cuadrícula de

4

por

4

por

4

deben avanzar con pasos de coordenadas

0

o

\pm1

Four collinear lattice points in this

4

-by-

4

-by-

4

grid must advance by coordinate steps

0

or

\pm1

Pista grande:

Cuenta por separado las rectas paralelas a los ejes, las diagonales de las caras y las diagonales espaciales

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

Solución:

Hay

3\cdot4^2=48

rectas paralelas a los ejes. Para las direcciones diagonales de las caras, se elige el par de coordenadas variables de

3

maneras, una de las

2

pendientes diagonales y se fija la coordenada restante de

4

maneras, lo que da

3\cdot2\cdot4=24.

Por último, el cubo tiene

4

diagonales espaciales. Por tanto, el total es

48+24+4=76.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are

3\cdot4^2=48

axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in

3

ways, choose one of

2

diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in

4

ways, giving

3\cdot2\cdot4=24.

Finally, the cube has

4

space diagonals. Thus the total is

48+24+4=76.

Therefore, the correct answer is D.