1981 AMC 12 Problema 25

Question

En el triángulo

ABC

de la figura adjunta,

AD

y

AE

trisecan

\angle BAC.

Las longitudes de

BD,

DE,

y

EC

son

2,

3,

y

6,

respectivamente. La longitud del lado más corto de

\triangle ABC

es

In triangle

ABC

in the adjoining figure,

AD

and

AE

trisect

\angle BAC.

The lengths of

BD,

DE,

and

EC

are

2,

3,

and

6,

respectively. The length of the shortest side of

\triangle ABC

is

2\sqrt{10}

11

6\sqrt6

6

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sean los tres ángulos iguales a

\alpha

, y aplica el teorema de la bisectriz a un subtriángulo adecuado

Let the three equal angles be

\alpha

, and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

Pista grande:

Iguala las expresiones de la ley de los cosenos para

\cos\alpha

en los tres triángulos adyacentes

Equate law-of-cosines expressions for

\cos\alpha

in the three adjacent triangles

Solución:

Sean

AB=c,

AD=y,

AC=b,

y

AE=z.

Como

AD

biseca

\angle BAE,

y

AE

biseca

\angle DAC,

el teorema de la bisectriz da

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},

así que

z=\frac{3c}{2}

y

b=2y.

Al aplicar la ley de los cosenos a los triángulos

ADB,

ADE,

y

AEC

e igualar sus valores comunes de

\cos\alpha

, se obtiene

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}

Por consiguiente,

y^2=54

y

c^2=40.

Los lados son

AB=2\sqrt{10},

BC=11,

y

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,

de modo que el más corto es

2\sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

AB=c,

AD=y,

AC=b,

and

AE=z.

Since

AD

bisects

\angle BAE,

and

AE

bisects

\angle DAC,

the angle-bisector theorem gives

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},

so

z=\frac{3c}{2}

and

b=2y.

Applying the law of cosines to triangles

ADB,

ADE,

and

AEC

and equating their common

\cos\alpha

values gives

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}

Hence

y^2=54

and

c^2=40.

The sides are

AB=2\sqrt{10},

BC=11,

and

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,

so the shortest is

2\sqrt{10}.

Therefore, the correct answer is A.