1984 AMC 12 Problema 15

Question

Si

\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,

entonces un valor posible de

x

es

If

\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,

then one value for

x

is

18^\circ

30^\circ

36^\circ

45^\circ

60^\circ

Pasa todos los términos a un lado y reconoce una identidad del coseno de una suma

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

Usa

\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x

=\cos5x

Use

\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x

=\cos5x

La ecuación equivale a

\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}

Por lo tanto,

5x=90^\circ+180^\circ k.

Al tomar

k=0

se obtiene

x=18^\circ,

el valor que aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to

\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}

Therefore

5x=90^\circ+180^\circ k.

Taking

k=0

gives

x=18^\circ,

the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 15 en otros años