1984 AMC 12 Problema 25

Question

El área total de todas las caras de un prisma rectangular es

22\text{ cm}^2,

y la longitud total de todas sus aristas es

24\text{ cm}.

Entonces la longitud en centímetros de cualquiera de sus diagonales interiores es

The total area of all the faces of a rectangular solid is

22\text{ cm}^2,

and the total length of all its edges is

24\text{ cm}.

Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

\sqrt{11}

\sqrt{12}

\sqrt{13}

\sqrt{14}

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Sean las longitudes de las aristas

x,y,z

y traduce ambos totales en ecuaciones

Let the side lengths be

x,y,z

and translate both totals into equations

Expande

(x+y+z)^2

para hallar

x^2+y^2+z^2

Expand

(x+y+z)^2

to find

x^2+y^2+z^2

Las condiciones dan

2(xy+xz+yz)=22

y

4(x+y+z)=24,

así que

xy+xz+yz=11

y

x+y+z=6.

Por tanto, el cuadrado de una diagonal interior es

x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.

Su longitud es

\sqrt{14}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The conditions give

2(xy+xz+yz)=22

and

4(x+y+z)=24,

so

xy+xz+yz=11

and

x+y+z=6.

Hence the square of an internal diagonal is

x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.

Its length is

\sqrt{14}.

Therefore, the correct answer is D.

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