1985 AMC 12 Problema 25

Question

El volumen de cierto prisma rectangular es

8\text{ cm}^3,

su área superficial total es

32\text{ cm}^2,

y sus tres dimensiones están en progresión geométrica. La suma de las longitudes en centímetros de todas las aristas es

The volume of a certain rectangular solid is

8\text{ cm}^3,

its total surface area is

32\text{ cm}^2,

and its three dimensions are in geometric progression. The sum of the lengths in cm of all the edges of this solid is

28

32

36

40

44

Escribe las tres dimensiones como

\frac{t}{r},t,tr

Write the three dimensions as

\frac{t}{r},t,tr

Usa el volumen para hallar

t,

y luego el área superficial para hallar

r+\frac{1}{r}

Use the volume to find

t,

then use the surface area to find

r+\frac{1}{r}

Escribe las dimensiones como

\frac{2}{r},2,2r,

ya que su producto es

8.

La mitad del área superficial es la suma de los tres productos por pares, así que

\frac4r+4+4r=16,

de donde

r+\frac{1}{r}=3.

La suma de las dimensiones es

2(r+1+\frac{1}{r})=8.

Como cada dimensión aparece en cuatro aristas, la suma de todas las longitudes es

4\cdot8=32.

Así, la respuesta correcta es B.

Write the dimensions as

\frac{2}{r},2,2r,

since their product is

8.

Half the surface area is the sum of the three pairwise products, so

\frac4r+4+4r=16,

giving

r+\frac{1}{r}=3.

The sum of the dimensions is

2(r+1+\frac{1}{r})=8.

Since each dimension occurs on four edges, the sum of all edge lengths is

4\cdot8=32.

Thus the correct answer is B.

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