1985 AMC 12 Problema 24

Question

Se elige un dígito no nulo de modo que la probabilidad de elegir el dígito

d

sea

\log_{10}(d+1)-\log_{10}d.

La probabilidad de elegir el dígito

2

es exactamente

\frac{1}{2}

de la probabilidad de que el dígito elegido pertenezca al conjunto

A non-zero digit is chosen in such a way that the probability of choosing digit

d

is

\log_{10}(d+1)-\log_{10}d.

The probability that the digit

2

is chosen is exactly

\frac{1}{2}

the probability that the digit chosen is in the set

\{2,3\}

\{3,4\}

\{4,5,6,7,8\}

\{5,6,7,8,9\}

\{4,5,6,7,8,9\}

El doble de la probabilidad del dígito

2

es

2\log_{10}(\frac{3}{2})

Twice the probability of digit

2

is

2\log_{10}(\frac{3}{2})

Suma las probabilidades de un conjunto consecutivo telescopando sus logaritmos

Sum the probabilities over a consecutive set by telescoping its logarithms

La probabilidad de

2

es

\log_{10}(\frac{3}{2}),

así que el doble es

\log_{10}(\frac{9}{4}).

Para los dígitos del

4

al

8,

la suma se telescopa:

\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94. \end{aligned}

Por tanto, ese conjunto tiene exactamente el doble de la probabilidad del dígito

2.

Así, la respuesta correcta es C.

The probability of

2

is

\log_{10}(\frac{3}{2}),

so twice that probability is

\log_{10}(\frac{9}{4}).

For the digits

4

through

8,

the sum telescopes:

\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94. \end{aligned}

Therefore that set has exactly twice the probability of digit

2.

Thus the correct answer is C.

El Problema 24 en otros años