1986 AMC 12 Problema 15

Question

Un estudiante intentó calcular el promedio

A

de

x,

y

y

z

calculando primero el promedio de

x

y

y,

y luego el promedio del resultado y

z.

Siempre que

x\lt y\lt z,

el resultado final del estudiante es

A student attempted to compute the average,

A,

of

x,

y

and

z

by computing the average of

x

and

y,

and then computing the average of the result and

z.

Whenever

x\lt y\lt z,

the student’s final result is

correcto

correct

siempre menor que

A

always less than

A

siempre mayor que

A

always greater than

A

a veces menor que

A

y a veces igual a

A

sometimes less than

A

and sometimes equal to

A

a veces mayor que

A

y a veces igual a

A

sometimes greater than

A

and sometimes equal to

A

Respuesta: C

Conceptos:average desigualdad algebraic comparison

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe como expresiones algebraicas tanto el promedio verdadero como el resultado del estudiante

Write both the true average and the student’s result as algebraic expressions

Pista grande:

Resta el promedio verdadero y usa el orden

x\lt y\lt z

para determinar el signo

Subtract the true average and use the order

x\lt y\lt z

to determine the sign

Solución:

El resultado del estudiante es

\frac{x+y+2z}{4},

mientras que el promedio verdadero es

\frac{x+y+z}{3}.

Su diferencia es

\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}

Como

z\gt x

y

z\gt y,

el numerador es positivo. Por tanto, el resultado del estudiante es siempre mayor que

A.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The student’s result is

\frac{x+y+2z}{4},

while the true average is

\frac{x+y+z}{3}.

Their difference is

\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}

Since

z\gt x

and

z\gt y,

the numerator is positive. The student’s result is therefore always greater than

A.

Thus the correct answer is C.