1989 AMC 12 Problema 19

Question

Un triángulo está inscrito en un círculo. Los vértices del triángulo dividen el círculo en tres arcos de longitudes

3,

4,

y

5.

¿Cuál es el área del triángulo?

A triangle is inscribed in a circle. The vertices of the triangle divide the circle into three arcs of lengths

3,

4,

and

5.

What is the area of the triangle?

6

\frac{18}{\pi^2}

\frac9{\pi^2}(\sqrt3-1)

\frac9{\pi^2}(\sqrt3+1)

\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3)

La circunferencia mide

12,

así que primero halla el radio y los tres ángulos centrales

The circumference is

12,

so first find the radius and the three central angles

Divide el triángulo en tres triángulos que tengan el centro del círculo como vértice común

Split the triangle into three triangles having the circle’s center as a common vertex

El radio es

R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}.

Las longitudes de arco

3,4,5

dan los ángulos centrales

\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}.

La suma de sus senos es

1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}.

Al dividir el triángulo desde el centro, su área es

\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The radius is

R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}.

The arc lengths

3,4,5

give central angles

\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}.

Their sines sum to

1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}.

Splitting the triangle at the center, its area is

\begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}

Thus the correct answer is E.

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