1990 AMC 12 Problema 21

Question

Considera una pirámide

P\text{-}ABCD

cuya base

ABCD

es cuadrada y cuyo vértice

P

equidista de

A,

B,

C,

y

D.

Si

AB=1

y

\angle APB=2\theta,

entonces el volumen de la pirámide es

Consider a pyramid

P\text{-}ABCD

whose base

ABCD

is square and whose vertex

P

is equidistant from

A,

B,

C,

and

D.

If

AB=1

and

\angle APB=2\theta,

then the volume of the pyramid is

\frac{\sin\theta}{6}

\frac{\cot\theta}{6}

\frac1{6\sin\theta}

\frac{1-\sin2\theta}{6}

\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}

Respuesta: E

Conceptos:pirámide trigonometría circumradius volumen

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

En el triángulo isósceles

APB,

expresa

PA

mediante la cuerda

AB

In isosceles triangle

APB,

express

PA

using the chord

AB

Pista grande:

Relaciona

PA

con la altura de la pirámide y la distancia del centro del cuadrado a un vértice

Relate

PA

to the pyramid height and the center-to-vertex distance of the square

Solución:

Sea

R=PA=PB.

En el triángulo isósceles

APB,

1=AB=2R\sin\theta,

así que

R=\frac{1}{2\sin\theta}.

Si

h

es la altura de la pirámide, la distancia horizontal del centro del cuadrado a

A

es

\frac{1}{\sqrt2},

por lo que

\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}

Por tanto,

h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},

y el volumen es

\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let

R=PA=PB.

In isosceles triangle

APB,

1=AB=2R\sin\theta,

so

R=\frac{1}{2\sin\theta}.

If

h

is the pyramid height, the horizontal distance from the square’s center to

A

is

\frac{1}{\sqrt2},

hence

\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}

Thus

h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},

and the volume is

\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.

Thus the correct answer is E.