1990 AMC 12 Problema 25

Question

Nueve esferas congruentes se colocan dentro de un cubo unitario de modo que una tiene su centro en el centro del cubo y cada una de las demás es tangente a la esfera central y a tres caras del cubo. ¿Cuál es el radio de cada esfera?

Nine congruent spheres are packed inside a unit cube in such a way that one of them has its center at the center of the cube and each of the others is tangent to the center sphere and to three faces of the cube. What is the radius of each sphere?

1-\frac{\sqrt3}{2}

\frac{2\sqrt3-3}{2}

\frac{\sqrt2}{6}

\frac14

\frac{\sqrt3(2-\sqrt2)}4

Respuesta: B

Conceptos:three-dimensional geometry fórmula de la distancia tangent spheres

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Coloca el centro de una esfera de esquina en

(r,r,r)

Place one corner sphere’s center at

(r,r,r)

Pista grande:

Su distancia a

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})

es igual a

2r

Its distance from

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})

equals

2r

Solución:

Si el radio es

r,

una esfera de esquina tiene centro

(r,r,r)

y la esfera central tiene centro

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).

La tangencia da

\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r.

Al resolver y racionalizar,

r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

If the radius is

r,

a corner sphere has center

(r,r,r)

and the central sphere has center

(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).

Tangency gives

\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r.

Solving and rationalizing,

r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}.

Thus the correct answer is B.