1990 AMC 12 Problema 24

Question

Todos los estudiantes de la Escuela Secundaria Adams y de la Escuela Secundaria Baker presentan cierto examen. La tabla muestra los promedios de los chicos, de las chicas y del grupo completo en las dos escuelas, así como el promedio combinado de los chicos de ambas escuelas. ¿Cuál es el promedio combinado de las chicas de las dos escuelas?

	Adams	Baker	Adams y Baker
Chicos:	$71$	$81$	$79$
Chicas:	$76$	$90$	¿?
Chicos y chicas:	$74$	$84$

All students at Adams High School and at Baker High School take a certain exam. The average scores for boys, for girls, and for boys and girls combined, at Adams HS and Baker HS are shown in the table, as is the average for boys at the two schools combined. What is the average score for the girls at the two schools combined?

	Adams	Baker	Adams & Baker
Boys:	$71$	$81$	$79$
Girls:	$76$	$90$	?
Boys & Girls:	$74$	$84$

81

82

83

84

85

Respuesta: D

Conceptos:weighted average ratio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Usa el promedio combinado de cada escuela para hallar su razón de chicas a chicos

Use each school’s combined average to find its ratio of girls to boys

Pista grande:

Usa el promedio combinado de los chicos para relacionar las cantidades de chicos de las dos escuelas

Use the combined boys’ average to relate the numbers of boys at the two schools

Solución:

Supongamos que Adams tiene

x

chicos y

y

chicas. A partir de su promedio,

71x+76y=74(x+y),

así que

y=\frac{3x}{2}.

Si Baker tiene

u

chicos y

v

chicas, su promedio da

u=2v.

El promedio combinado de los chicos da

71x+81u=79(x+u),

así que

u=4x

y

v=2x.

Por tanto, el promedio combinado de las chicas es

\frac{76(\frac{3x}{2})+90(2x)}{\frac{3x}{2}+2x}=84.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let Adams have

x

boys and

y

girls. From its average,

71x+76y=74(x+y),

so

y=\frac{3x}{2}.

If Baker has

u

boys and

v

girls, its average gives

u=2v.

The combined boys’ average gives

71x+81u=79(x+u),

so

u=4x

and

v=2x.

Hence the combined girls’ average is

\frac{76(\frac{3x}{2})+90(2x)}{\frac{3x}{2}+2x}=84.

Thus the correct answer is D.