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1991 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1991 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1991 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Si

f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x

para todo

x\notin\{0,1\},

y

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},

entonces

f(\sec^2\theta)=

If

f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x

for all

x\notin\{0,1\},

and

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},

then

f(\sec^2\theta)=

\sin^2\theta

\cos^2\theta

\tan^2\theta

\cot^2\theta

\csc^2\theta

Respuesta: A

Conceptos:function substitution identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Elige

x

de modo que

\frac{1}{x}=\sec^2\theta

Choose

x

so that

\frac{1}{x}=\sec^2\theta

Pista grande:

Usa

1-\cos^2\theta=\sin^2\theta

Use

1-\cos^2\theta=\sin^2\theta

Solución:

Como

\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},

elige

x=\csc^2\theta

en la definición. Entonces

f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},

choose

x=\csc^2\theta

in the definition. Then

f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.

Thus the correct answer is A.

El Problema 21 en otros años