1995 AMC 12 Problema 15

Question

Cinco puntos de una circunferencia están numerados

1,

2,

3,

4,

y

5

en sentido horario. Un insecto salta en sentido horario de un punto a otro: si está en un punto de número impar, avanza un punto, y si está en uno de número par, avanza dos puntos. Si comienza en el punto

5,

después de

1995

saltos estará en el punto

Five points on a circle are numbered

1,

2,

3,

4,

and

5

in clockwise order. A bug jumps in a clockwise direction from one point to another around the circle; if it is on an odd-numbered point, it moves one point, and if it is on an even-numbered point, it moves two points. If the bug begins on point

5,

after

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jumps it will be on point

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:cycles aritmética modular

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Escribe los puntos de llegada de los primeros saltos

Write down the landing points for the first few jumps

Pista grande:

Cuando se repita un punto, reduce el número de saltos restantes módulo la longitud del ciclo

Once a point repeats, reduce the remaining number of jumps modulo the cycle length

Solución:

Partiendo de

5,

los puntos de llegada son

1,2,4,1,2,4,\ldots

Por tanto, el ciclo

1,2,4

tiene longitud

3.

Como

1995

es divisible por

3,

el punto de llegada número

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es

4.

La respuesta correcta es D.

Starting at

5,

the landing points are

1,2,4,1,2,4,\ldots

Thus the cycle

1,2,4

has length

3.

Since

1995

is divisible by

3,

the

1995

th landing point is

4.

Thus the correct answer is D.