1996 AMC 12 Problema 29

Question

Si

n

es un entero positivo tal que

2n

tiene

28

divisores positivos y

3n

tiene

30

divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tiene

6n

?

If

n

is a positive integer such that

2n

has

28

positive divisors and

3n

has

30

positive divisors, then how many positive divisors does

6n

have?

32

34

35

36

38

Respuesta: C

Conceptos:divisor function factorización en primos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Escribe

n=2^a3^bq

, donde

q

es coprimo con

6

, y sea

t

el número de divisores de

q

Write

n=2^a3^bq

, where

q

is relatively prime to

6

, and let

t

be the number of divisors of

q

Pista grande:

Usa las dos ecuaciones de conteo de divisores para restringir

t

a un divisor común de

28

y

30

Use the two divisor-count equations to restrict

t

to a divisor of both

28

and

30

Solución:

Escribe

n=2^a3^bq

con

\gcd(q,6)=1,

y sea

t=\tau(q).

Entonces

\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}

Por tanto,

t

es

1

o

2.

Al comprobar los pares de factores de

14,15

, no se obtiene solución para

t=2.

Al comprobar los de

28,30

para

t=1

, se obtiene la solución única

a=5,b=3.

Por consiguiente,

\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}

así que la respuesta correcta es C.

Write

n=2^a3^bq

with

\gcd(q,6)=1,

and let

t=\tau(q).

Then

\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}

Hence

t

is

1

or

2.

Checking the factor pairs of

14,15

gives no solution when

t=2.

Checking those of

28,30

when

t=1

gives the unique solution

a=5,b=3.

Therefore

\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}

so the correct answer is C.