1962 AMC 12 Problema 9

Question

Cuando

x^9-x

se factoriza tanto como sea posible en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores es:

When

x^9-x

is factored as completely as possible into polynomials and monomials with integral coefficients, the number of factors is:

más de

5

more than

5

5

4

3

2

Comienza con

x(x^8-1)

y usa repetidamente diferencias de cuadrados

Begin with

x(x^8-1)

and repeatedly use differences of squares

Sobre los enteros, detente después de aislar

x,

x-1,

x+1,

x^2+1,

y

x^4+1

Over the integers, stop after isolating

x,

x-1,

x+1,

x^2+1,

and

x^4+1

La factorización sobre los enteros da

\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}

Los dos últimos factores no constantes son irreducibles sobre los enteros, así que hay

5

factores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring over the integers gives

\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}

The last two nonconstant factors are irreducible over the integers, so there are

5

factors.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 9 en otros años