1963 AMC 12 Problema 9

Question

En el desarrollo de

\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7

, el coeficiente de

a^{-\frac{1}{2}}

es:

In the expansion of

\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7

the coefficient of

a^{-\frac{1}{2}}

is:

-7

7

-21

21

35

El término que elige el segundo sumando

r

veces tiene exponente

7-\frac{3r}{2}

The term choosing the second summand

r

times has exponent

7-\frac{3r}{2}

Iguala ese exponente a

-\frac{1}{2}

antes de hallar el coeficiente binomial y el signo

Set that exponent equal to

-\frac{1}{2}

before finding the binomial coefficient and sign

El término que usa

-a^{-\frac{1}{2}}

exactamente

r

veces tiene exponente

7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}.

Al igualarlo a

-\frac{1}{2}

se obtiene

r=5.

Su coeficiente es

\binom75(-1)^5=-21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The term using

-a^{-\frac{1}{2}}

exactly

r

times has exponent

7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}.

Setting this to

-\frac{1}{2}

gives

r=5.

Its coefficient is

\binom75(-1)^5=-21.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 9 en otros años