1977 AMC 12 Problema 9

Question

En la figura adjunta,

\angle E=40^\circ

y los arcos

AB,

BC

y

CD

tienen la misma longitud. Halla la medida de

\angle ACD.

In the adjoining figure

\angle E=40^\circ

and arc

AB,

arc

BC

and arc

CD

all have equal length. Find the measure of

\angle ACD.

10^\circ

15^\circ

20^\circ

\left(\frac{45}2\right)^\circ

30^\circ

Asigna una variable común a los tres arcos iguales y otra variable al arco

AD

Assign one variable to each of the three equal arcs and another to arc

AD

Usa tanto la suma de los arcos de la circunferencia completa como el teorema del ángulo entre secantes exteriores en

E

Use both the full-circle arc sum and the external-secant angle theorem at

E

Sea

x^\circ

la medida de cada uno de los arcos

AB,

BC,

CD

y sea

y^\circ

la del arco

AD.

Entonces

\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40. \end{aligned}

Al resolver se obtiene

y=30.

El ángulo inscrito

\angle ACD

subtiende el arco

AD,

por lo que mide

\frac{y}{2}=15^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each of arcs

AB,

BC,

CD

measure

x^\circ

and let arc

AD

measure

y^\circ.

Then

\begin{aligned} 3x+y&=360,\\ \frac{x-y}{2}&=40. \end{aligned}

Solving gives

y=30.

The inscribed angle

\angle ACD

subtends arc

AD,

so it measures

\frac{y}{2}=15^\circ.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 9 en otros años