1970 AMC 12 Problema 9

Question

Los puntos

P

y

Q

están en el segmento

AB,

y ambos se encuentran al mismo lado del punto medio de

AB.

El punto

P

divide

AB

en la razón

2:3,

y

Q

divide

AB

en la razón

3:4.

Si

PQ=2,

entonces la longitud del segmento

AB

es:

Points

P

and

Q

are on line segment

AB,

and both points are on the same side of the midpoint of

AB.

Point

P

divides

AB

in the ratio

2:3,

and

Q

divides

AB

in the ratio

3:4.

If

PQ=2,

then the length of segment

AB

is:

12

28

70

75

105

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Expresa

AP

y

AQ

como fracciones de

AB

Express

AP

and

AQ

as fractions of

AB

Pista grande:

Usa

AP=\frac{2AB}{5}

y

AQ=\frac{3AB}{7}

, y luego resta

Use

AP=\frac{2AB}{5}

and

AQ=\frac{3AB}{7}

, then subtract

Solución:

Las razones de división dan

AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB.

Como los dos puntos están al mismo lado del punto medio,

\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB. \end{aligned}

Puesto que

PQ=2,

obtenemos

AB=70.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The division ratios give

AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB.

Because the two points are on the same side of the midpoint,

\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB. \end{aligned}

Since

PQ=2,

we obtain

AB=70.

Therefore, the correct answer is C.