1975 AMC 12 Problema 9

Question

Sean

a_1,

a_2,

\ldots

y

b_1,

b_2,

\ldots

progresiones aritméticas tales que

a_1=25,

b_1=75,

y

a_{100}+b_{100}=100.

Halla la suma de los primeros cien términos de la progresión

a_1+b_1,

a_2+b_2,

\ldots.

Let

a_1,

a_2,

\ldots

and

b_1,

b_2,

\ldots

be arithmetic progressions such that

a_1=25,

b_1=75,

and

a_{100}+b_{100}=100.

Find the sum of the first one hundred terms of the progression

a_1+b_1,

a_2+b_2,

\ldots.

0

100

10{,}000

505{,}000

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

La suma término a término de dos progresiones aritméticas también es aritmética

The termwise sum of two arithmetic progressions is arithmetic

Su primer término y su centésimo término son ambos

100

Its first and hundredth terms are both

100

Sea

c_i=a_i+b_i.

Esta es una progresión aritmética con

c_1=25+75=100

y

c_{100}=100.

Como los términos de los extremos son iguales, la diferencia común es

0,

así que los

100

términos son iguales a

100.

Su suma es

10{,}000.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

c_i=a_i+b_i.

This is an arithmetic progression with

c_1=25+75=100

and

c_{100}=100.

Equal endpoint terms force its common difference to be

0,

so all

100

terms equal

100.

Their sum is

10{,}000.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 9 en otros años