1952 AMC 12 Problema 8

Question

Dos círculos iguales en el mismo plano no pueden tener el siguiente número de tangentes comunes:

Two equal circles in the same plane cannot have the following number of common tangents:

1

2

3

4

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:círculo recta tangente análisis por casos

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Considera círculos iguales que se cortan, son tangentes exteriormente o son disjuntos

Consider intersecting, externally tangent, and disjoint equal circles

Pista grande:

Una tangencia interior exigiría radios distintos, a menos que los círculos coincidan

An internal tangency would require unequal radii unless the circles coincide

Solución:

Dos círculos iguales distintos tienen

2

tangentes comunes cuando se cortan,

3

cuando son tangentes exteriormente y

4

cuando son disjuntos. No pueden ser tangentes interiormente, porque la tangencia interior exige que la distancia entre los centros sea igual a la diferencia de los radios, que es

0.

Cuando la distancia entre los centros es

0

, los círculos iguales coinciden y tienen infinitas tangentes comunes.

Por lo tanto, es imposible tener exactamente

1

tangente común, así que la respuesta correcta es A.

Two distinct equal circles have

2

common tangents when they intersect,

3

when externally tangent, and

4

when disjoint. They cannot be internally tangent, because internal tangency requires the center distance to equal the difference of the radii, which is

0.

At center distance

0

the equal circles coincide and have infinitely many common tangents.

Thus exactly

1

common tangent is impossible, so the correct answer is A.