1985 AMC 12 Problema 8

Question

Sean

a,

a',

b,

b'

números reales, con

a

y

a'

distintos de cero. La solución de

ax+b=0

es menor que la solución de

a'x+b'=0

si y solo si

Let

a,

a',

b,

b'

be real numbers with

a

and

a'

nonzero. The solution to

ax+b=0

is less than the solution to

a'x+b'=0

if and only if

a'b\lt ab'

ab'\lt a'b

ab\lt a'b'

\frac ba\lt\frac{b'}{a'}

\frac{b'}{a'}\lt\frac ba

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Escribe la solución de cada ecuación sin multiplicar en cruz

Write each equation’s solution without cross-multiplying

Pista grande:

Multiplicar una desigualdad por

-1

invierte su sentido

Multiplying an inequality by

-1

reverses its direction

Solución:

Las dos soluciones son

-\frac{b}{a}

y

-\frac{b'}{a'}.

Por tanto, la comparación dada es

-\frac ba\lt-\frac{b'}{a'}.

Al multiplicar ambos lados por

-1

, se invierte la desigualdad y se obtiene

\frac{b}{a}\gt \frac{b'}{a'},

equivalentemente,

\frac{b'}{a'}\lt \frac{b}{a}.

No es válido multiplicar por la cantidad

aa'

, cuyo signo se desconoce.

Así, la respuesta correcta es E.

The two solutions are

-\frac{b}{a}

and

-\frac{b'}{a'}.

Thus the given comparison is

-\frac ba\lt-\frac{b'}{a'}.

Multiplying both sides by

-1

reverses the inequality and gives

\frac{b}{a}\gt \frac{b'}{a'},

equivalently

\frac{b'}{a'}\lt \frac{b}{a}.

No multiplication by the unknown-sign quantity

aa'

is valid.

Thus the correct answer is E.