1953 AMC 12 Problema 15

Question

De una pieza cuadrada de metal se corta una pieza circular del mayor tamaño posible y luego, de esta, se corta una pieza cuadrada del mayor tamaño posible. La cantidad total de metal desperdiciado es:

A circular piece of metal of maximum size is cut out of a square piece and then a square piece of maximum size is cut out of the circular piece. The total amount of metal wasted is:

\dfrac14

del área del cuadrado original

\dfrac14

the area of the original square

\dfrac12

del área del cuadrado original

\dfrac12

the area of the original square

\dfrac12

del área de la pieza circular

\dfrac12

the area of the circular piece

\dfrac14

del área de la pieza circular

\dfrac14

the area of the circular piece

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:inscribed figures square círculo área

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Supón que el cuadrado original tiene lado

s

Let the original square have side

s

Pista grande:

La diagonal del cuadrado final es igual al diámetro del círculo, que mide

s

The final square’s diagonal equals the circle’s diameter, which is

s

Solución:

Supón que el cuadrado original tiene lado

s.

El círculo inscrito tiene diámetro

s.

Ese diámetro es la diagonal del cuadrado más grande que se puede cortar del círculo, por lo que el cuadrado final tiene lado

\frac{s}{\sqrt2}

y área

\frac{s^2}{2}.

El material que queda después de ambos cortes es este cuadrado final, así que el desperdicio total es

s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original square have side

s.

The inscribed circle has diameter

s.

That diameter is the diagonal of the largest square cut from the circle, so the final square has side

\frac{s}{\sqrt2}

and area

\frac{s^2}{2}.

The material left after both cuts is this final square, so the total waste is

s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.

Thus, the correct answer is B.