1958 AMC 12 Problema 15

Question

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo. Si se inscribe un ángulo en cada uno de los cuatro segmentos exteriores al cuadrilátero, la suma de estos cuatro ángulos, en grados, es:

A quadrilateral is inscribed in a circle. If an angle is inscribed into each of the four segments outside the quadrilateral, the sum of these four angles, expressed in degrees, is:

1080

900

720

540

360

Respuesta: D

Conceptos:cuadrilátero cíclico ángulo inscrito arco suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las medidas de los cuatro arcos determinados por los lados del cuadrilátero suman

360^\circ

Let the four arcs cut off by the quadrilateral’s sides have measures summing to

360^\circ

Pista grande:

Un ángulo en el segmento exterior de un lado subtiende el arco mayor complementario

An angle in the outside segment of a side subtends the complementary major arc

Solución:

Sean

\alpha_1,\ldots,\alpha_4

las medidas de los cuatro arcos menores determinados por los lados; su suma es

360^\circ.

El ángulo del segmento exterior correspondiente al arco

\alpha_i

subtiende el otro arco, por lo que mide

\frac{360^\circ-\alpha_i}{2}.

Así, la suma de los cuatro ángulos es

\frac{4(360^\circ)-360^\circ}{2}=540^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the four minor arcs cut off by the sides have measures

\alpha_1,\ldots,\alpha_4,

whose sum is

360^\circ.

The angle in the outside segment corresponding to arc

\alpha_i

subtends the other arc, so its measure is

\frac{360^\circ-\alpha_i}{2}.

The sum of the four angles is therefore

\frac{4(360^\circ)-360^\circ}{2}=540^\circ.

Thus, the correct answer is D.