1959 AMC 12 Problema 2

Question

Por un punto

P

interior al triángulo

ABC

se traza una recta paralela a la base

\overline{AB},

que divide el triángulo en dos áreas iguales. Si la altura correspondiente a

\overline{AB}

mide

1,

entonces la distancia de

P

a

\overline{AB}

es:

Through a point

P

inside triangle

ABC

a line is drawn parallel to the base

\overline{AB},

dividing the triangle into two equal areas. If the altitude to

\overline{AB}

has length

1,

then the distance from

P

to

\overline{AB}

is:

\dfrac12

\dfrac14

2-\sqrt2

\dfrac{2-\sqrt2}{2}

\dfrac{2+\sqrt2}{8}

Respuesta: D

Conceptos:semejanza razón de áreas altura

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea

x

la distancia de

P

a la base

Let

x

be the distance from

P

to the base

Pista grande:

El triángulo pequeño sobre la recta paralela tiene altura

1-x

y la mitad del área original

The small triangle above the parallel line has altitude

1-x

and half the original area

Solución:

Sea

x

la distancia solicitada. El triángulo sobre la recta paralela es semejante al triángulo original, con razón lineal

1-x.

Su área es la mitad del área original, así que

(1-x)^2=\frac12.

Como

0\lt x\lt1,

tenemos

1-x=\frac{1}{\sqrt2},

y por lo tanto

x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

x

be the requested distance. The triangle above the parallel line is similar to the original triangle, with linear ratio

1-x.

Its area is half the original area, so

(1-x)^2=\frac12.

Since

0\lt x\lt1,

we have

1-x=\frac{1}{\sqrt2},

and therefore

x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is D.