1962 AMC 12 Problema 27

Question

Sea

a\mathbin{@}b

la operación sobre dos números,

a

y

b,

que selecciona el mayor de los dos, con

a\mathbin{@}a=a.

Sea

a\mathbin{!}b

la operación que selecciona el menor de los dos números, con

a\mathbin{!}a=a.

¿Cuál o cuáles de las siguientes tres reglas son correctas?

\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}

Let

a\mathbin{@}b

represent the operation on two numbers,

a

and

b,

which selects the larger of the two numbers, with

a\mathbin{@}a=a.

Let

a\mathbin{!}b

represent the operation which selects the smaller of the two numbers, with

a\mathbin{!}a=a.

Which of the following three rules is (are) correct?

\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}

solo

(1)

(1)

only

solo

(2)

(2)

only

solo

(1)

y

(2)

(1)

and

(2)

only

solo

(1)

y

(3)

(1)

and

(3)

only

las tres

all three

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Interpreta

\mathbin{@}

como máximo y

\mathbin{!}

como mínimo

Translate

\mathbin{@}

as maximum and

\mathbin{!}

as minimum

Pista grande:

Para la regla

(3),

compara ambos lados por separado cuando

a

está por debajo o por encima de

\max(b,c)

For rule

(3),

compare both sides separately when

a

is below or above

\max(b,c)

Solución:

El máximo es conmutativo y asociativo, así que

(1)

y

(2)

se cumplen. La regla

(3)

es la identidad distributiva

\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}

Si

a\ge\max(b,c),

ambos lados son iguales a

\max(b,c);

si

a\lt\max(b,c),

ambos lados son iguales a

a.

Por tanto,

(3)

también se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Maximum is commutative and associative, so

(1)

and

(2)

hold. Rule

(3)

is the distributive identity

\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}

If

a\ge\max(b,c),

both sides equal

\max(b,c);

if

a\lt\max(b,c),

both sides equal

a.

Thus

(3)

also holds.

Therefore, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años