1988 AMC 12 Problema 27

Question

En la figura,

AB\perp BC,

BC\perp CD,

y

BC

es tangente a la circunferencia de centro

O

y diámetro

AD.

¿En cuál de los casos siguientes el área de

ABCD

es un entero?

In the figure,

AB\perp BC,

BC\perp CD,

and

BC

is tangent to the circle with center

O

and diameter

AD.

In which one of the following cases is the area of

ABCD

an integer?

AB=3,

CD=1

AB=5,

CD=2

AB=7,

CD=3

AB=9,

CD=4

AB=11,

CD=5

Respuesta: D

Conceptos:circle tangency potencia de un punto trapezoid area

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Sea

M

el punto de tangencia y usa el diámetro para formar un rectángulo dentro del trapecio

Let the tangent point be

M

and use the diameter to form a rectangle inside the trapezoid

Pista grande:

La potencia del punto

B

relaciona la mitad de

BC

con

AB

y

CD

Power of point

B

relates half of

BC

to

AB

and

CD

Solución:

El punto de tangencia es el punto medio de

BC,

y la relación entre tangente y secante da

(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.

Por tanto,

BC=2\sqrt{AB\cdot CD},

y el área del trapecio es

\begin{aligned} \text{Área} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}

Solo

AB=9,\ CD=4

hace que el producto bajo el radical sea un cuadrado; el área es

13\cdot6=78.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The tangent point is the midpoint of

BC,

and the tangent-secant relation gives

(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.

Thus

BC=2\sqrt{AB\cdot CD},

and the trapezoid area is

\begin{aligned} \text{Area} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}

Only

AB=9,\ CD=4

makes the product under the radical a square; the area is

13\cdot6=78.

Thus the correct answer is D.