1992 AMC 12 Problema 27

Question

Un círculo de radio

r

tiene cuerdas

\overline{AB}

de longitud

10

y

\overline{CD}

de longitud

7.

Al prolongar

\overline{AB}

más allá de

B

y

\overline{CD}

más allá de

C,

se cortan en un punto

P

exterior al círculo. Si

\angle APD=60^\circ

y

BP=8,

entonces

r^2=

A circle of radius

r

has chords

\overline{AB}

of length

10

and

\overline{CD}

of length

7.

When

\overline{AB}

and

\overline{CD}

are extended through

B

and

C,

respectively, they intersect at

P,

which is outside the circle. If

\angle APD=60^\circ

and

BP=8,

then

r^2=

70

71

72

73

74

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto secants triángulo rectángulo circle diameter

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Aplica el teorema de las dos secantes para hallar

PC

y

PD

Apply the secant-secant theorem to find

PC

and

PD

Pista grande:

Una vez que tengas

PA=18,

PC=9,

y

\angle APC=60^\circ,

identifica un triángulo de

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

Once

PA=18,

PC=9,

and

\angle APC=60^\circ,

identify a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

Solución:

La potencia de

P

da

PA\cdot PB=PC\cdot PD.

Aquí

PA=18,

PB=8,

y

PD=PC+7,

así que

PC(PC+7)=144.

Por tanto,

PC=9

y

PD=16.

Como

PA=2PC

y

\angle APC=60^\circ,

el triángulo

APC

es rectángulo en

C,

con

AC=9\sqrt3.

Por tanto,

AD

es un diámetro, y

\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}

De aquí,

r^2=73.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Power of

P

gives

PA\cdot PB=PC\cdot PD.

Here

PA=18,

PB=8,

and

PD=PC+7,

so

PC(PC+7)=144.

Thus

PC=9

and

PD=16.

Since

PA=2PC

and

\angle APC=60^\circ,

triangle

APC

is right at

C,

with

AC=9\sqrt3.

Therefore

AD

is a diameter, and

\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}

Hence

r^2=73.

Thus the correct answer is D.