1960 AMC 12 Problema 27

Question

Sea

S

la suma de los ángulos interiores de un polígono

P

, en el cual cada ángulo interior es

7\dfrac12

veces el ángulo exterior en el mismo vértice. Entonces:

Let

S

be the sum of the interior angles of a polygon

P

for which each interior angle is

7\dfrac12

times the exterior angle at the same vertex. Then:

S=2660^\circ

y

P

puede ser regular

S=2660^\circ

and

P

may be regular

S=2660^\circ

y

P

no es regular

S=2660^\circ

and

P

is not regular

S=2700^\circ

y

P

es regular

S=2700^\circ

and

P

is regular

S=2700^\circ

y

P

no es regular

S=2700^\circ

and

P

is not regular

S=2700^\circ

y

P

puede ser regular o no serlo

S=2700^\circ

and

P

may or may not be regular

Respuesta: E

Conceptos:suma de ángulos polígono equiángulo polígono regular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente suman

180^\circ

An interior angle and its corresponding exterior angle sum to

180^\circ

Pista grande:

La condición determina todos los ángulos, pero no dice nada sobre las longitudes de los lados

The condition fixes every angle but says nothing about the side lengths

Solución:

Si un ángulo exterior es

e,

entonces

e+\frac{15}{2}e=180^\circ,

así que

e=\frac{360^\circ}{17}.

Como los ángulos exteriores suman

360^\circ,

el polígono tiene

17

vértices y

S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.

Todos sus ángulos son iguales, pero sus lados no tienen que serlo, por lo que puede ser regular o no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an exterior angle is

e,

then

e+\frac{15}{2}e=180^\circ,

so

e=\frac{360^\circ}{17}.

Since the exterior angles total

360^\circ,

the polygon has

17

vertices and

S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.

All its angles are equal, but its sides need not be equal, so it may or may not be regular.

Thus, the correct answer is E.