1987 AMC 12 Problema 27

Question

Un cubo de queso

C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}

se corta por los planos

x=y,

y=z,

y

z=x.

¿Cuántas piezas se obtienen? (No se mueve el queso hasta haber realizado los tres cortes.)

A cube of cheese

C=\{(x,y,z)\mid0\le x,y,z\le1\}

is cut along the planes

x=y,

y=z,

and

z=x.

How many pieces are there? (No cheese is moved until all three cuts are made.)

5

6

7

8

9

Respuesta: B

Conceptos:three-dimensional geometry coordinate ordering permutaciones

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Dentro de una misma pieza, el orden relativo de

x,y,z

no puede cambiar

Within one piece, the relative order of

x,y,z

cannot change

Pista grande:

Cuenta los ordenamientos estrictos de tres coordenadas distintas

Count the strict orderings of three distinct coordinates

Solución:

Los tres planos son precisamente las fronteras donde dos coordenadas son iguales. Fuera de ellos, cada pieza queda determinada por un orden estricto de

x,y,z,

como

x\lt y\lt z.

Cada uno de los

3!=6

ordenamientos aparece dentro del cubo, así que hay

6

piezas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three planes are precisely the boundaries where two coordinates are equal. Away from them, each piece is determined by a strict ordering of

x,y,z,

such as

x\lt y\lt z.

Every one of the

3!=6

orderings occurs inside the cube, so there are

6

pieces.

Thus the correct answer is B.