1971 AMC 12 Problema 27

Question

Una caja contiene fichas, cada una de las cuales es roja, blanca o azul. El número de fichas azules es al menos la mitad del número de fichas blancas y como máximo un tercio del número de fichas rojas. El número de fichas blancas o azules es al menos

55.

El número mínimo de fichas rojas es:

A box contains chips, each of which is red, white, or blue. The number of blue chips is at least half the number of white chips and at most one-third the number of red chips. The number which are white or blue is at least

55.

The minimum number of red chips is:

24

33

45

54

57

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sean

r,w,b

las cantidades y traduce cada condición a una desigualdad

Let the counts be

r,w,b

and translate every condition into an inequality

Pista grande:

A partir de

w\le2b

y

w+b\ge55

, halla el menor entero posible

b

From

w\le2b

and

w+b\ge55

, find the least possible integer

b

Solución:

Sean

r,w,b

las cantidades. Las condiciones dan

\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}

Por tanto,

3b\ge w+b\ge55,

así que

b\ge19

y

r\ge57.

La igualdad es posible con

(w,b,r)=(36,19,57),

por lo que el mínimo es

57.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the counts be

r,w,b.

The conditions give

\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}

Hence

3b\ge w+b\ge55,

so

b\ge19

and

r\ge57.

Equality is possible with

(w,b,r)=(36,19,57),

so the minimum is

57.

Therefore, the correct answer is E.