1965 AMC 12 Problema 30

Usa las coordenadas $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

La tangente corta $CA$ en su punto medio; comprueba la afirmación sobre la bisectriz con el teorema de la bisectriz

Toma $C=(0,0),\ A=(a,0),$ y $B=(0,b).$ La segunda intersección de $AB$ con el círculo de diámetro $BC$ es $$D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right).$$ La tangente en $D$ corta $CA$ en $F=(\frac{a}{2},0).$ Por tanto, $DF$ biseca $CA;$ además, $FC=FD=FA$ por la igualdad de los segmentos tangentes desde $F,$ lo que proporciona las opciones C y E, y los ángulos del círculo y del triángulo rectángulo proporcionan la opción D.

Si $DF$ bisecara $\angle CDA,$ el teorema de la bisectriz en el triángulo $CDA$ exigiría $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}.$ El lado izquierdo es $1,$ mientras que $$\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba,$$ que no tiene por qué ser $1.$ Por tanto, la opción B no puede demostrarse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.