1966 AMC 12 Problema 19

Question

Sea

s_1

la suma de los primeros

n

términos de la sucesión aritmética

8,

12,

\ldots

, y sea

s_2

la suma de los primeros

n

términos de la sucesión aritmética

17,

19,

\ldots.

Entonces

s_1=s_2

para:

Let

s_1

be the sum of the first

n

terms of the arithmetic sequence

8,

12,

\ldots

and let

s_2

be the sum of the first

n

terms of the arithmetic sequence

17,

19,

\ldots.

Then

s_1=s_2

for:

ningún valor de

n

no value of

n

un valor de

n

one value of

n

dos valores de

n

two values of

n

cuatro valores de

n

four values of

n

más de cuatro valores de

n

more than four values of

n

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Escribe una fórmula de suma para cada progresión

Write a sum formula for each progression

Pista grande:

Cancela el factor positivo

n

después de igualar las sumas

Cancel the positive factor

n

after equating the sums

Solución:

Las dos sumas son

\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}

Al igualarlas se obtiene

n(n-10)=0.

Como el número de términos es positivo, solo funciona

n=10

, así que hay un valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two sums are

\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}

Equality gives

n(n-10)=0.

Since a number of terms is positive, only

n=10

works, so there is one value.

Therefore, the correct answer is B.